¿Sabías Que?

      La terminología asociada a las funciones se debe al matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ellos; si dos variables X e y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a x  entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y, se dice que es una función (Univoca) de x. La variable x, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable y, cuyos valores dependen de x, se llama variable dependiente. Los valores permitidos de x constituyen el dominio de definición de la función y los valores de y constituyen su recorrido.”

Funciones

por Ana Velásques: presentación

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Funciones

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Aplicaciones de las Funciones.

      

      Se puede considerar una Función como una asociación entre dos conjuntos de acuerdo con cierta regla, un proceso llamado aplicación. Dados dos conjuntos S₁, y S₂, una aplicación de S₁ en S₂ es una operación que a todo miembro m de S₁ le asocia un único miembro n de S₂. Una función definida en el conjunto de los números reales R y con valores en R es una aplicación, ya que asocia un valor de R, llamado x, a otro valor de R, llamado f(x).

      Los conceptos y definiciones de las funciones pueden expresarse en términos de aplicaciones. Una aplicación siempre da un único valor f(x) para cada x, pero no es necesario que un f(x) procede de un solo x, se dice que la función es inyectiva. Un mapa geográfico es un ejemplo de aplicación matemática, ya que aplica puntos de la superficie de la tierra a puntos de una hoja de papel.

      Si f aplica un conjunto M en otro N y S es un subconjunto de M, el subconjunto T de N formado aplicando todos los elementos de S se llama imagen de S bajo f y se representa por f(S). El conjunto S formado por todos los elementos de M se aplican en T es llamada imagen inversa o anti imagen, de T y se representa por f^-1(T). Si f no es inyectiva, f^-1 no es una aplicación, ya que por definición de toda aplicación la imagen es única. En cambio, si f es una aplicación inyectiva, f^-1 también lo es. Así f^-1 es la llamada aplicación inversa de f, que aplica f(M) en M.

      Si cada miembro de N tiene una anti imagen por f, se dice que f es una aplicación exhaustiva. Si f es inyectiva y exhaustiva (esto es, cuando f^-1 es una aplicación y la imagen inversa es única) se dice que la aplicación es biyectiva o biunívoca.

Funciones.

 

      Si dos variables X y Y están relacionadas de tal modo que el valor de Y está determinado por el de X, se dice que Y es función de X. en una función a X se le llama variable independiente y a Y variable dependiente, ya que el valor de Y depende de X. el concepto de función fue ya utilizado por un cierto número de matemáticos de siglos pasados, sobre todo por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1789). La notación moderna para representar las funciones, como otras muchas notaciones matemáticas, fue introducida por Euler. Siguiendo, como es usual, la notación de este autor, una función de una variable independiente X se representa por f(x). si se requieren otras funciones, suelen utilizarse los símbolos g(x) y h(x). Las funciones polinómica suelen representarse por P(x) y Q(x). El valor de la función para x = a se representa por f(a). El valor de la función para x = 2 se escribe f(2).

   Por ejemplo, la función definida por:

f(x) = x3 + 4x2 – 7x + 11

Tiene los siguientes valores para los cuatro primeros enteros nulos:

f(1)= 1 + 4 – 7 + 11 = 9

f(2)= 8 + 16 – 14 + 11 = 21

f(3)= 27 + 36 – 21 + 11 = 53

f(4)= 64 + 64 – 28 + 11 =111

Como puede observarse, una función asocia un conjunto de números a otro conjunto de números.

   Las funciones se utilizan en muchas ramas de la ciencia para describir relaciones entre magnitudes físicas. Por ejemplo, la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre es una función del tiempo transcurrido.

    Las funciones para las cuales un valor de x da lugar a un solo valor de y se llaman funciones univocas de x. por ejemplo y = x + 3 es una función univoca de x. si un valor de x da lugar a varios valores de y se dice que y es una función multivoca de x. por ejemplo, y = √x (suponiendo que x e y son números reales) tiene dos valores de x para cada valor de y, por lo que se trata de una función multivoca.

Puede ocurrir que la función solo tenga sentido para determinados valores de x. estos valores permitidos de x constituyen entonces el dominio de la función por ejemplo, la función:

y = √1-x 2,

   Sólo tiene sentido ( para números reales) si x pertenece al intervalo comprendido entre +1 y -1 (incluyendo x = ± 1); de lo contrario, y seria la raíz cuadrada de un número negativo. En consecuencia, el dominio de la función es el intervalo -1 ≤ x ≤ 1. Los correspondientes valores de y constituyen el recorrido de la función. En el caso anterior, el recorrido es 0 ≤ y ≤ 1.

Función Cuadrática

Funciones Matemáticas - Definición - Clasificaciones

Video realizado por estudiantes de la UNEFM
Bachilleres:

Luis Reyes
Darwin Medina
Gilberto Hernández
Willian Sánchez
Endher Castellano